전략적 사고를 위한 게임이론(6) - 게임의 형식

전략형

 

 전략형 또는 정규형 게임은 전 절에서 설명한 게임의 구성요소 가운데 경기자, 전략, 보수의 세 가지 구성요소만을 갖춘 형태이다. 즉 전략형 게임에서는 선택의 순서나 정보의 완전성 여부는 알 수 없다.

 

 

 경기자 1은 U와 D 둘 중 하나의 순수전략을 취해야 하고, 경기자 2가 L과 R 둘 중에 하나를둘 중에 하나를 선택해야 한다고 하자. 경기자 1과 경기자 2가 각자의 순수전략을 선택한다면 그 결과로 순수전략 조합이 실현된다. 여기서 경기자 1과 경기자 2의 순수전략이 각각 두 개씩이므로 실현이 가능한 순수전략 조합은 (U, L), (U, R), (D, L), (D, R)의 네 가지가 된다. 각 경기자의 보수는 모든 경기자가 선택한 전략의 조합에 의하여 결정된다. 경기자가 두 명일 경우 전략형 게임은 그림 1.2와 같이 보수행렬의 형태로 나타내는 것이 일반적이다. 경기자 1은 행으로 나열되어 있는 전략 중에 하나를 선택하고 경기자 2는 열로 나열되어 있는 전략 중에 하나를 선택한다. 경기자 1의 전략과 경기자 2의 전략이 만나는 각 방에는 전략조합에 의하여 경기자들이 받게 될 보수를 적는다. 이때 경기자 1의 보수를 먼저 쓰고 쉼표 다음에 경기자 2의 보수를 쓴다. 예컨대, 경기자 1이 순수전략 D를 택하고 경기자 2가 순수전략 R을 택할 경우, 경기자 1은 50의 보수를 얻고 경기자 2는 15의 보수를 얻는다.

 일반적인 n인 전략형 게임에서, 경기자 i가 선택할 수 있는 순수전략은 si로 표기한다. 또한, 경기자 i가 선택할 수 있는 순수전략을 전부 모아놓은 집합을 순수전략의 집합이라 하는데, 대문자 Si로 표기한다. 경기자 1은 S1을 택하고, 경기자 2는 순수전략 s2를 택하며, ..., 경기자 n은 순수전략 sn을 선택한다면, 그 결과로 순수전략 조합 s=(s1, s2, ..., sn)이 실현될 것이다. 물론 이 순수전략 조합은 가능한 모든 순수전략 조합의 집합인 S=S1*S2*...*Sn의 한 원소이다. 예컨대, 2인 게임에서 경기자 1과 경기자 2의 순수전략 집합이 각각 S1={U, D}와 S2={L, R}이라면, 순수전략 조합 집합 S는 아래와 같이 네 개의 원소로 이루어진다.

S={{U, L}, {U, R}, {D, L}, {D, R}}

 각 경기자의 보수는 모든 경기자가 선택한 전략의 조합에 의하여 결정된다. 경기자 i의 보수함수 u1: S->R는 특정한 순수전략 조합이 실현되었을 때 경기자 i가 얻는 효용을 나타낸다. 또한, 보수조합은 주어진 순수전략 조합 s에 대하여 경기자들의 보수를 배열해 놓은 벡터 u(s)=(u1(s), u2(s), ..., un(s)) 이다. 예컨대, 그림 1.2에서 경기자 1은 U를 선택하고 경기자 2는 R을 선택하는 경우, 두 경기자는 보수조합 u(U,R)=(30,20)에 따라 최종적인 효용을 얻는다.