전략적 사고를 위한 게임이론(5) - 게임의 구성요소, 게임의 형식

계속해서 게임의 구성요소에 대해 작성하겠다.

행동과 전략
 의사결정의 상황에서 경기자가 선택할 수 있는 대안들을 행동이라 부른다. 어떤 경기자가 '아무 행동도 취하지 않는 선택'을 할 수 있다면, 이것까지도 행동의 하나로 포함되어야 한다. 순수전략이란 일어날 개연성이 있는 모든 경우에 대해서 해당 경기자가 취할 행동의 완전한 계획으로 정의된다.
 순수전략의 개념을 이해하기 위하여 다음의 예를 생각해 보자. 남북문제에 있어서 남한의 선택은 1) 평화 회담을 위한 접촉을 시도하거나 2) 접촉 시도를 중지하고 냉각상태를 유지하는 것, 두 가지라고 가정하자. 이에 대한 북한의 선택은 3) 남한의 요청에 호의적으로 응답하거나, 혹은 4) 남한의 요청을 묵살한다는 두 가지 선택이 있다고 가정하자. 북한이 어떠한 태도를 취하든 북한의 반응에 대하여 남한은 또다시 5) 대북 원조 전면 중단, 혹은 6) 대대적 대북 식량원조의 전개, 둘 중 하나의 행동을 선택할 수 있다고 가정하자. 남한의 순수전략이란 남한의 초기 제안만 아니라 북한의 수락 여부에 대응하는 행동을 포함하는 완전한 계획을 의미한다. 예를 들어 '평화 회담을 요청한다. 북한이 평화 회담 요청을 수락한다면 식량을 대대적으로 원조해 주고 거절한다면 대북 식량원조를 중단한다'는 계획은 남측의 순수전략 가운데 하나이다. 반면 '평화 회담을 요청한다. 북한이 거절할 경우 식량원조를 중단한다'는 계획은 순수전략이 될 수 없다. 북한이 대화에 응할 경우 어떻게 대응한다는 계획이 없기 때문이다.
 혼합전략이란 경기자가 여러 개의 행동 가운데 하나를 선택하되 주어진 확률분포에 따라 임의로 택하는 것을 뜻한다. 위 남북문제의 예에서 북한이 50%의 확률로 행동 3) 을 택하고 나머지 50%의 확률로 행동 4) 를 택한다면 북한은 혼합전략을 사용함을 의미한다.

결과와 보수
게임의 결과란 모든 경기자가 규칙에 따라 전략을 선택함으로써 실현되는 최종적인 상태를 뜻한다. 보수란 주어진 게임에서 경기자가 궁극적으로 얻고자 하는 금액 혹은 효용으로 정의된다. 권투경기의 승패에 따라 달라지는 대전료 및 승리감, 주식투자를 통해 얻는 매매차익, 시장점유율의 상승을 통해 얻는 추가적인 이윤 등이 각 게임에 참여한 경기자가 추구하는 보수의 예이다.
 게임이론에서 경기자의 선호 체계는 폰 노이만과 모르겐슈테른에 의해 정립된 기대효용가설에 의하여 계산된다. 설명의 편의상 어떤 선택의 결과로 화폐 금액 x 원을 얻거나 혹은 y 원을 얻는 둘 중 하나의 상태만이 실현된다고 가정하자. 여기서 x 원을 얻을 확률이 p이고, y 원을 얻을 확률이 나머지(1-p)라 하자. 효용함수가 u(x)인 의사결정자가 이러한 선택으로부터 얻는 효용은 아래 식 1.1과 같이 계산된다. 또 이렇게 계산된 효용을 기대 효용이라 부른다.
식 1.1 : Eu=p*u(x)+(1-p)*u(y)
 식 1.1을 일반적인 경우로 확장하면, 각 상황에서 실현될 보수가 주는 효용을 각 상황이 일어날 확률로 곱한 후 이를 발생할 가능성이 있는 모든 상황에 대하여 합하면 기대 효용이 계산됨을 의미한다.
 게임이론에서 보수는 폰 노이만-모르겐슈테른 기대 효용이다. 즉, 주어진 게임에 쓰여 있는 보수는 전략이나 행동을 선택한 결과로 얻을 화폐 금액을 경기자의 효용함수에 대입하여 얻은 효용 수준을 나타낸다. 주어진 게임에 참여하는 모든 경기자의 보수를 벡터 형식으로 표시한 것을 보수조합이라 부르는데, 보수조합의 차원은 경기자들의 숫자와 일치한다.

 

 

* 게임의 형식

1. 전개 형
 전 개형 게임이란 전 절에서 열거한 게임의 여섯 가지 구성요소를 모두 명시한 게임나무로 정의된다. 게임나무는 마디와 가지로 이루어진 그래프의 일종이며, 수학적으로는 그래프이론에 의하여 정의된다. 게임나무에서 마디는 크게 의사결정마디와 종결 마디로 분류된다. 의사결정마디란 경기자 중 누군가가 자신이 취할 행동을 결정해야 하는 상태이며, 종결 마디는 게임의 최종결과가 실현되어 모든 경기자에게 결과에 상응하는 보수가 지급되는 상태를 뜻한다. 게임이 최초로 시작되는 뿌리는 의사결정마디 가운데 하나임은 말할 나위 없다. 각 가지는 하나의 마디로부터 출발하여 다른 마디에 도착하는 실선으로 나타낸다. 

 

 그림 1.1의 전 개형 게임은 경기자 1과 경기자 2가 참여하는 순차게임의 단순한 예를 보여 준다. 먼저 경기자 1은 U와 D 둘 중 하나의 행동을 취한다. 그 사람 다음으로 경기자 2는 경기자 1이 U와 D 가운데 어느 것을 선택했는지 알고 있는 상태에서 L과 R 중 하나의 행동을 취한다. 게임나무의 마지막 가지 끝인 종결 마디에는 각 경기자가 선택한 행동들의 조합에 따른 보수조합을 적는다. 보수조합에서 위의 숫자는 먼저 행동한 경기자 1의 보수이고 아래 숫자는 경기자 2의 보수이다. 예컨대, 경기자 1이 D를 선택한 다음 경기자 2가 L을 선택한다면, 경기자 1은 5단위의 보수를 얻고 경기자 2는 7단위의 보수를 얻게 됨을 나타내고 있다.